Diferença entre closest e parent

Inicia com o elemento atual, sobe a árvore do DOM nos elementos acima dele até encontrar o primeiro elemento que se encaixe no seletor escolhido. O retorno deste método é um objeto JQuery pode ter zero ou um elemento.

Dado um objeto JQuery que representa um conjunto de elementos DOM, o método "parent()" permite que você procure no meio dos ancestrais destes elementos na árvore DOM e constroi um novo objeto JQuery, contendo um conjunto de elementos encontrados segundo o seletor escolhido.

Espero ter ajudado.